Educação Matemática Crítica

VOCÊ SABE QUEM É OLE SKOVSMOSE

O professor dinamarquês Ole Skovsmose é um dos principais responsáveis por divulgar o movimento da “educação matemática crítica” ao redor do mundo. Com mestrado em Filosofia e Matemática pela Universidade de Copenhague e doutorado em Educação Matemática pela Royal Danish School of Education Studies, Skovsmose defende em seus trabalhos o direito à democracia e o ensino de matemática a partir de trabalho com projetos. “Uma educação crítica não pode ser estruturada em torno de palestras proferidas pelo professor”, diz.

Skovsmose questiona as práticas tradicionais, muitas vezes realizadas sem reflexão, como a ênfase excessiva na realização de listas de exercícios, que pode comprometer a qualidade da aula de matemática, e acredita que “mais importante do que só fazer exercícios é trabalhar com investigações”. Para ele, a Educação Matemática Crítica possui um importante papel no mundo atual, sobretudo em função do avanço tecnológico. Skovsmose também desenvolveu diversos conceitos importantes para interpretar processos de aprendizagem, como cenários de investigação, foreground dos estudantes e guetorização.

Skovsmose sempre se preocupou com os países localizados fora dos centros de poder, o que o levou a viajar pelo mundo orientando e desenvo lvendo pesquisas. Está sempre em contato com professores e pesquisadores da África do Sul, Colômbia e Brasil. Em nosso país, ele visita anualmente o programa de Pós -Graduação em Educação Matemática da UNESP, em Rio Claro, São Paulo.

Atualmente, Skovsmose é professor do Departam ento de Educação, Aprendizagem e Filosofia da Universidade de Aalborg, na Dinamarca. Tem livros publicados em português, como Educação matemática crítica: a questão da democracia (2001) e Desafios da reflexão em educação matemática crítica (2008), ambos publicados pela editora Papirus, Educação Crítica – incerteza, matemática, responsabilidade (2007) pela editora Cortez e Diálogo e aprendizagem em educação matemática (2006) em parceria com Helle Alroe publicado pela editora Autêntica.

 Cenários para investigação

Acredito que mais importante do que fazer exercícios, é analisar os diferentes tipos de situações, aprendendo a construir estratégias utilizando os conceitos matemáticos. Muitas vezes, fazendo exercícios, os alunos não v ão aprender matemática para toda a vida, mas na prática de realização de listas de exercícios em busca das ‘respostas certas’.”

A educação matemática tradicional se enquadra no paradigma do exercício. Geralmente, o livro didáctico representa as condições tradicionais da prática de sala de aula. Os exercícios são formulados por uma autoridade externa à sala de aula. Isso significa que a justificação da relevância dos exercícios não é parte da aula de matemática em si mesma. Além disso, a premissa central do paradigma do exercício é que existe uma, e somente uma, resposta correcta.

O meu interesse numa abordagem de investigação tem relação com a educação matemática crítica, a qual pode ser caracterizada em termos de diferentes preocupações. Uma delas é o desenvolvimento da materacia, vista como uma competência similar à literacia caracterizada por Freire.

Materacia não se refere apenas às habilidades matemáticas, mas também à competência de interpretar e agir numa situação social e política estruturada pela matemática. A educação matemática crítica inclui o interesse pelo desenvolvimento da educação matemática como suporte da democracia, implicando que as micro-sociedades de salas de aulas de matemática devem também mostrar aspectos de democracia. A educação matemática crítica enfatiza que a matemática como tal não é somente um assunto a ser ensinado e aprendido (não importa se os processos de aprendizagem são organizados de acordo com uma abordagem construtivista ou socio-cultural).

A Matemática em si é um tópico sobre o qual é preciso refletir. Ela é parte de nossa cultura tecnológica e exerce muitas funções, as quais podem ser mais bem caracterizadas por uma leve reformulação da Primeira Lei de Kranzberg: o que a matemática está produzindo não é bom nem ruim, nem é neutro. A matemática é parte de nossas estruturas tecnológicas, militares, económicas e políticas e como tal, um recurso tanto para maravilhas como para horrores.

Fazer uma crítica da matemática como parte da educação matemática é um interesse da educação matemática crítica. Parece não haver muito espaço no paradigma do exercício para que tais interesses sejam levados em conta.

Fonte

http://www.presencapedagogica.com.br/capa6/artigos/83.pdf

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/textos/skovsmose(Cenarios)00.pdf

O PENSADOR DA CONTRADIÇÃO

Você sabe quem é Nilton da Costa?

“Sou o espírito que tudo nega”

O professor entra em sala, vai até o quadro negro, pega um giz, embrulha uma de suas pontas cuidadosamente com um pedaço de papel para não tocá-la ao escrever, coloca uma pastilha de hortelã na boca, e diz para os alunos à sua frente: “vim jogar a serpente no paraíso de vocês”. E começa a conferência, ágil, voz forte, um riso às vezes brincalhão no rosto.

O professor é Newton Carneiro Affonso da Costa e um dos cinco matemáticos brasileiros de maior projeção internacional, pelo número de citações que seus trabalhos recebem, todos os anos, e pela enorme influência que exerceu e exerce através de seus muitos alunos e colaboradores, que se espalham do Brasil aos Estados Unidos, à Europa e até à Austrália.

Um dos alunos de Newton da Costa, um dia, entrou no gabinete do professor, no departamento de filosofia da Universidade de São Paulo, e enquanto este olhava algo surpreso, o aluno escreveu no quadro negro: ich bin der Geist der stets verneint. É uma citação do Fausto de Goethe, sou o espírito que tudo nega. A citação se aplica perfeitamente a Newton da Costa, pois seus trabalhos mais difundidos dizem respeito às chamadas lógicas paraconsistentes.

A lógica clássica, tratada com os métodos matemáticos, desenvolveu-se extraordinariamente desde meados do século XIX, a partir dos trabalhos do inglês George Boole, passando pelo alemão Gottlob Frege, por Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, vindo a consolidar-se com as contribuições de David Hilbert, Kurt Gödel e Alfred Tarski, entre vários outros. No âmbito de um sistema lógico clássico, dadas duas proposições contraditórias (ou seja, uma delas é a negação da outra), qualquer proposição do sistema pode ser deduzida. Em outros termos, e dito por alto, de uma contradição tudo se demonstra. Quando isso acontece, o sistema teórico fundamentado na lógica clássica é chamado trivial. Inconsistência (existência de contradição) e trivialidade não eram conceitos separados até Newton da Costa. Aliás, o “horror às contradições” vem pelo menos desde Aristóteles, com a sua ênfase na validade do Princípio da Não-Contradição, e costuma ser admitido, sem hesitações, pela grande maioria dos matemáticos.

Newton da Costa mostrou que os matemáticos não precisam recear as contradições, pois descobriu como estender a lógica clássica de modo a obter sistemas formais (ditos paraconsistentes) nos quais a existência de proposições contraditórias não conduz à trivialização do sistema. Com isso, não pretendeu destruir a lógica clássica, que chama de “mãe de todas as lógicas,” e nem provar que está errada. Apenas mostra que ela se aplica a um domínio definido, limitado, da matemática. Seus trabalhos a este respeito iniciaram-se em 1958, e culminam em sua tese de cátedra, Sistemas Formais Inconsistentes, apresentada em 1963, que conclui com o aforismo de Cantor, o criador da teoria dos conjuntos: a essência da matemática radica na sua completa liberdade. Aqui, temos o que parece ser a idéia-mestra, o fio condutor dos trabalhos de Newton da Costa: a imaginação pode nos levar a inventar universos matemáticos novos e que podem ter interessantes conseqüências.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Newton_da_Costa.jpg

Newton da Costa (Da Costa)

Newton Carneiro Affonso da Costa (Curitiba, 16 de setembro de 1929) é um matemático, lógico e filósofo brasileiro, de reputação internacional devido principalmente aos seus trabalhos em lógica. Conseguiu três graduações pela Universidade Federal do Paraná: em 1952 formou-se em engenharia civil, e em 1955 e 1956 obteve o bacharelado e licenciatura em Matemática ambos pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras.

Especializou-se em licenciatura de Matemática no ano de 1957, e concluiu o seu doutorado de análise matemática e análise superior no ano de1961, sob a orientação de Edison Farah. Newton da Costa foi professor catedrático da UFPR, professor titular de Matemática e de Filosofia na USP, e professor titular na Unicamp. Foi, também, visitante em muitas entidades de pesquisa nas Américas e na Europa. Hoje é professor visitante do Departamento de Filosofia da UFSC.

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Principais contribuições em ciência

Lógicas paraconsistentes

Em sistemas lógicos paraconsistentes a existência de proposições contraditórias não implica a trivialidade dos sistemas. As implicações destes sistemas lógicos tem importância acadêmica e prática tanto para os fundamentos quanto para as aplicações de ciências como direito, matemática, física e engenharia. Ser um dos criadores desta lógica não-clássica (tópico da lógica) deu parte do reconhecimento internacional que o Professor Da Costa granjeou.

Os conhecidos cálculos Cn de Da Costa foram amplamente generalizados e ampliados pelas Lógicas da Inconsistência Formal investigados por Walter Carnielli, Marcelo E. Coniglio e João Marcos.

Juntamente com seu colega (e ex-orientando), o lógico Walter A. Carnielli, professor da UNICAMP, Da Costa deu uma contribuição original à Lógica Dêontica. Da Costa e Carnielli mostraram que uma lógica menos rígida que a lógica clássica pode dar uma nova resposta aos chamados paradoxos deônticos. Esta contribuição ao debate é reconhecida no verbete Deontic Logic da Stanford Enc. of Philosophy.

Teoria da Quase Verdade

Da Costa com alguns de seus colaboradores, estendeu o conceito escolástico de verdade, formulando, à maneira de Alfred Tarski, uma noção, a teoria da quase verdade ou verdade parcial que então aplicou aos fundamentos da ciência.

Fundamentos da matemática e da física

O método axiomático é uma ferramenta que estende a compreensão a respeito dos limites e desdobramentos das teorias. As pesquisa de Da Costas incluem teoria dos modelos, teoria de Galois, axiomatização da mecânica quântica e da relatividade restrita e teoria da complexidade.

Da Costa juntamente com o físico Francisco A. Dória axiomatizou, utilizando o predicado de Suppes, várias teorias físicas, chegando a resultados importantes como o da incompletude ou indecidibilidade de certas proposições da teoria de sistemas dinâmicos, em sua versão axiomatizada. Este resultado também foi estendido para o equilíbrio de Nash.

P=NP?

O problema P = NP? é um dos problemas mais importantes da teoria da computação e relaciona-se diretamente com a limitação do poder de processamento dos computadores, entre outras questões de aplicação prática.

Juntamente com Francisco A. Dória, Da Costa publicou dois artigos que condicionam a consistência do problema P=NP? à teoria de conjuntos ZFC. Os resultados obtidos são similares aos obtidos por outros autores e a comunidade científica ainda está avaliando estes resultados.

Fontes:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Newton_da_Costa#Liga.C3.A7.C3.B5es_externas

http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/papers/Cperfil.html

UMA MENTE BRILHANTE

Você sabe quem é John Nash?

            Forbes Nash Jr. (Bluefield, 13 de junho de 1928) é um matemático norte-americano que trabalhou na Teoria dos jogos, na Geometria diferencial e na Equação de derivadas parciais, servindo como Matemático Sénior de Investigação na Universidade de Princeton.
John Nash ganhou o prêmio Nobel de Economia, em 1994, junto com John C. Harsanyi e Reinhard Selten, aos 66 anos de idade. Esse prêmio foi o reconhecimento por suas contribuições teóricas no campo da Teoria dos Jogos, estudos que ele fizera décadas antes, enquanto era estudante de pós-graduação na Universidade de Princeton.

Foto de 2006

Imagem de 2010 em um evento na USP, em São Paulo

John Nash foi para o Carnegie Institute of Technology estudar Engenharia, mas logo se interessou pela Matemática. Talvez seu primeiro interesse pela Matemática tenha sido aos 13 ou 14 anos, quando leu o livro de E.T. Bell, Men of Mathematics, sendo o texto sobre Fermat o que mais teria lhe chamado atenção, fato que ele menciona em seu ensaio biográfico para o prêmio Nobel.

A teoria dos Jogos é um ramo da Matemática que estuda a interação entre estratégias e foi desenvolvida inicialmente como ferramenta para descrever e prever o comportamento econômico.

O problema mais famoso da Teoria dos Jogos é o Dilema do Prisioneiro, formulado por Merrill Flood e Melvin Dresher em 1950. Mais tarde, Albert W. Tucker fez a sua formalização com o tema da pena de prisão e deu ao problema geral esse nome específico.

Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?

O conceito do Equilíbrio de Nash, generalizou a Teoria dos Jogos, expandindo suas aplicações para vários aspectos da economia e para a ciência política, a sociologia e até à biologia. Com isso, temas como eleições, leilões, o mercado de trabalho e a evolução genética, por exemplo, podem ser tratados como jogos e compreendidos pela análise teórica.

O livro “Uma mente brilhante” de Sylvia Nasar, publicado em 2002 pela Editora Record (traduzido do original em inglês “A Beautiful Mind: A Biography of John Forbes Nash Jr.” (London-New York, 1998), por Sérgio Moraes Rego, 585p) conta com mais detalhes vida dessa grande personalidade.

A vida de John Nash também chegou ao cinema no filme Uma mente brilhante, dirigido por Ron Howard e estrelado por Russell Crowe, Jennifer Connelly, Ed Harris e Christopher Plummer.

Fonte:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dilema_do_prisioneiro
http://noticias.uol.com.br/ciencia/ultimas-noticias/redacao/2010/08/04/premios-nobel-discutem-teoria-dos-jogos-em-sao-paulo.htm

John Nash ganhou o prêmio Nobel de Economia, em 1994, junto com John C. Harsanyi e Reinhard Selten, aos 66 anos de idade. Esse prêmio foi o reconhecimento por suas contribuições teóricas no campo da Teoria dos Jogos, estudos que ele fizera décadas antes, enquanto era estudante de pós-graduação na Universidade de Princeton.